LOS APORTES DE UNA CIVILIZACION  

HISTORIA DEL ALGEBRA Y SUS CONTEXTOS

 

El Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de los números u objetos concretos. A lo largo de la historia de la humanidad esta ciencia ha ido evolucionando, y cada civilización y cada cultura con sus características propias han dejando un legado testimonial escrito del que en la actualidad somos herederos.

 

LOS EGIPCIOS

Hacia el cuarto milenio a.C. nació una gran civilización a orillas del río Nilo: los Egipcios. Gracias a ellos y después de un largo proceso, los primitivos textos pictográficos evolucionaron para dar lugar a una ordenación lineal de símbolos más sencillos: sistema de notación jeroglífica. La cantidad de información matemática que podemos obtener de las piedras talladas encontradas en las tumbas, los templos y de los calendarios es muy limitada y el panorama de las contribuciones egipcias que tendríamos sería extremadamente incompleto. Afortunadamente disponemos de otras fuentes de información; hay un cierto número de papiros egipcios que de una manera u otra, han conseguido llegar hasta nuestros días. El más extenso de los que contienen información matemática es un rollo de papiro de unos 30 cm de alto y casi 6 m de largo que está expuesto en el British Museum de Londres. Este papiro fue comprado en 1858 en una ciudad comercial del Nilo por un anticuario escocés, Henry Rhind, de donde deriva el nombre de Papiro Rhind con el que se conoce usualmente o, no tan a menudo como el Papiro de Ahmes , en honor del escriba que lo copió hacia 1650 a.C. Este escriba cuenta que el material escrito se deriva de un prototipo del Imperio Medio de entre los años 2000 y 1800 a.C., y es posible que parte de estos conocimientos provengan en realidad de Imhotep, el legendario arquitecto y médico del faraón Zoser. En cualquier caso la matemática egipcia parece haberse estancado durante unos 2000 años después de unos comienzos prometedores. Los problemas que hay en el Papiro de Rhind, no se refieren a objetos concretos y específicos como pan o cerveza, ni tampoco piden el resultado de operaciones con números conocidos, sino que piden lo equivalente a resolver ecuaciones lineales de la forma x +ax = b ó x +ax +bx = c, donde a, b y c son números conocidos y x es desconocido; a este número desconocido o incógnita le llamaban “aha” o “montón”.La solución que se da en el Papiro de Rhind, de los problemas de carácter algebraico planteados no es la que podría verse en los libros de texto modernos, sino que es característica de un procedimiento que conocemos hoy como el “método de la falsa posición” o “regula falsi”. En este método se supone un valor concreto para el “montón”, lo más probable es que sea incorrecto, y se efectúan con dicho número las operaciones indicadas en el miembro de la izquierda de la igualdad, a continuación se compara el resultado de estas operaciones con el resultado que debería haberse obtenido, y mediante el uso de proporciones se halla la respuesta correcta. Por ejemplo, el problema 24 del Papiro de Ahmes , traducido literalmente, dice: “una cantidad , su 1/7, su totalidad asciende a 19”. Esto para nosotros significaría:x + x/7=19se toma como valor de prueba para la incógnita el 7, de manera que la ecuación toma el valor 8 en lugar del correcto que debía de ser 19, pero en vista de que 8(2+1/4+1/8) =19, tenemos que multiplicar 7 por 2+1/4+1/8 para obtener el valor correcto del “montón”; Ahmes halla la respuesta correcta, 16+1/2+1/8 y “comprueba” su resultado mostrando que si a 16+1/2+1/8 se le suma un séptimo de él mismo, es decir 2+1/4+1/8, se obtiene efectivamente 19.El único tipo de ecuación de segundo grado que aparece es el más sencillo: axª = bMuchos de los cálculos de “aha” en el Papiro de Rhind eran evidentemente ejercicios para que practicasen los jóvenes estudiantes. Este álgebra egipcia tan restringida no utilizaba prácticamente ningún simbolismo. En el Papiro de Ahmes las operaciones de sumar y restar aparecen representadas por un dibujo esquemático de las piernas de una persona que se acerca y que se aleja . En definitiva, los egipcios solucionaban problemas de una incógnita que vienen a ser equivalentes a nuestra resolución de ecuaciones lineales. Sin embargo, los procesos seguidos eran puramente aritméticos y no constituían para los egipcios un tema distinto como podía ser la resolución de ecuaciones.

CIVILIZACIÓN MESOPOTÁMICA

Al igual que en el valle del Nilo, nació a orillas de los río Tigris yEufrates a finales del cuarto milenio una nueva civilización : civilización mesopotámica o también llamada babilónica.Antiguamente, como hoy en día, “la Tierra de los Dos Ríos” fue un territorio abierto a invasiones de diversa procedencia. Una de las más importantes fue la llevada a cabo por los acadios semitas debido al vasto territorio que ocuparon. Otras invasiones y revueltas posteriores elevaron al poder en el valle a los amorritas, cassitas, elamitas, hititas, asirios, medos y persas entre otros. Pero lo importante es que se conservó siempre una uniformidad cultural, en particular el uso generalizado de la escritura cuneiforme, lo suficientemente alta para que podamos referirnos a esta civilización simplemente como mesopotámica. En Mesopotamia, el álgebra alcanzó un nivel considerablemente más alto que en Egipto ya que los babilónicos solucionaron tanto ecuaciones lineales como ecuaciones cuadráticas sin ninguna dificultad y algunos ejemplos de ecuaciones cúbicas.Los documentos matemáticos que se conservan de la época son tablillas de arcilla blanda donde se imprimía el texto con una varilla y a continuación se cocían en hornos para endurecerlas. Estos documentos han sido menos vulnerables al paso del tiempo que los papiros egipcios, por lo que se dispone actualmente de una mayor información de la matemática mesopotámica que de la egipcia. La mayoría de las tablillas con contenido matemático se encuentran en las Universidades de Columbia, Pennsylvania y Yale, las cuales fueron suministradas por un yacimiento arqueológico de la antigua ciudad de Nipur. Los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera completamente verbal, sin utilizar símbolos especiales. A menudo aparecen las palabras us (longitud), sag (anchura) y a!a (área) utilizadas para representar las incógnitas, no porque dichas incógnitas representen tales cantidades geométricas, sino porque muchos problemas algebraicos seguramente surgieron de situaciones geométricas y esta terminología terminó por imponerse. Un indicio de que esto era así, es que los babilónicos no tenían ningún reparo en sumar una longitud con un área o un volumen.

ÉPOCA HELENÍSTICA

La actividad intelectual que se desarrollaba en Egipto yMesopotamia perdió impulso antes de que comenzase la Era Cristiana y además, empezaron a surgir nuevas civilizaciones a lo largo de la costa del mar Mediterráneo. A este progresivo cambio en los principales centros de las civilizaciones se le conoce como Edad Talásica (800 a.C.- 800 d.C.).A principios de este periodo una nueva civilización se estaba preparando para ser la heredera de la hegemonía cultural del Mediterráneo, los helenos. Por ello, a la primera etapa de la Edad Talásica se la llamó época helénica. Este pueblo procedente del norte,que se asentó a orilas del mar Egeo, vino desprovisto de cultura, pero con grandes ansias de aprender. Los griegos en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides, muchos de ellos rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días, este logro se llama Matemáticas. La matemática griega se ha desarrollado en tres etapas fundamentales, cuyas principales figuras son Pitágoras, Platón y Euclides.Cada uno de ellos aportó una singularidad esencial. Euclides fue el sintetizador de todos los conocimientos precedentes; su obra Los Elementos se convirtió en canónica y paradigmática, y como tal ha marcado una pauta a lo largo de veintidós siglos. La figura central en todos los sentidos fue Platón, se ocupó de crear un entorno académico donde se potenciaron de forma extraordinaria lo estudios geométricos. Y finalmente Pitágoras, pionero instaurador de la tradición matemática griega y artífice de los fundamentos filosóficos e ideológicos de la Matemática. La tradición matemática de la escuela de Pitágoras es recogida por Platón para ponerla en manos de Euclides, que en la compilación de Los Elementos creó un modelo estructural paradigmático.Los Elementos es un compendio, en lenguaje geométrico, de todos los conocimientos de la matemática elemental, es decir, por una parte la geometría sintética plana (puntos, rectas, polígonos y círculos) y espacial (planos, poliedros y cuerpos redondos); y por otra parte, una aritmética y un álgebra, ambas con una indumentaria geométrica. Así pues LosElementos de Euclides son una exposición en orden lógico de los fundamentos de la matemática elemental; y porsu valor didáctico y su carácter de síntesis, ha sido utilizado como manual escolar hasta no hacemucho tiempo.La obra de Euclides está formada por trece libros, de los cuales el Libro II y el V son casi completamente algebraicos; pero a diferencia de nuestra álgebra actual, que es simbólica, el álgebra de Los Elementos es un álgebra geométrica. La matemática griega no se mantuvo uniforme a un nivel alto, sino que el glorioso periodo del siglo III a.C. fue seguido por una época de decadencia que quizá mejoró un poco con Ptolomeo, pero que no se recuperó hasta la “Edad de Plata” de la matemática griega, en torno al siglo que va del año 250 al año 350 aproximadamente. A comienzos de este periodo, conocido también como la Edad Alejandrina Tardía, nos encontramos con el más importante de todos los algebristas griegos, Diofanto de Alejandría . Diofanto ha sido llamado muchas veces el padre del álgebra pero muchos le reniegan este título ya que a pesar de que en cuestiones de notación sin duda se lo merece, en términos de las motivaciones y los conceptos desarrollados esta pretensión resulta menos justificada. Su libro más importante es Aritmética, colección de unos 150 problemas sobre aplicaciones del álgebra. Según dice Diofanto, la Aritmética comprende trece libros, pero sólo conservamos seis de ellos procedentes de un manuscrito del siglo XIII que es una copia griega de otro más antiguo y de versiones posteriores. En ellos no hay ningún desarrollo axiomático ni tampoco se hace ningún esfuerzo por calcular todas las soluciones posibles, en el caso de las ecuaciones de segundo grado con dos raíces positivas se da solamente la mayor. La gran innovación de Diofanto está en que manteniendo aún en los enunciados algebraicos la forma retórica de la estructura de la frase, sustituye con abreviaturas una serie de magnitudes, conceptos y operadores frecuentes, es decir, inicia el “álgebra sincopada”.

ANTIGUA CIVILIZACIÓN CHINA

Las civilizaciones china e hindú se remontan a lo que se conoce hoy en día como Edad Potámica. La civilización china tuvo su cuna en la cuenca de los ríos Yangtze y Amarillo y el primer imperio chino data del año 2750 a.C., aunque algunos historiadores creen que estuvo más cerca del año 1000 a.C.La tarea de fechar los documentos matemáticos chinos no es fácil. Por ejemplo, las estimaciones que se han hecho acerca del Chou Pei Suan Ching, escrito en forma de diálogo entre un príncipe y su ministro que está considerado en general como el texto chino más antiguo de contenido matemático, difieren entre sí en casi mil años, ya que se le atribuyen varios autores de distintas épocas comprendidos entre 1200 a.C. y 300a.C. donde en esta última fecha, esta obra, coincidiría con otro tratado matemático muy importante Chui-chang suan-shu o los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático, poco antes de la dinastía Han (200 a.C.- 220 a.C.). Esta obra ejerció una gran influencia en los libros matemáticos chinos posteriores; incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos. En muchos casos la resolución de problemas conduce a sistemas de ecuaciones lineales utilizando números positivos y negativos.Los Nueve Capítulos nos recuerdan en cierta manera a la matemática egipcia por su uso del método de la “falsa posición”, pero lo cierto es que la invención de este procedimiento, lo mismo que el origen de la matemática china en general, parece haber sido independiente de toda influencia occidental.

LA CIVILIZACIÓN HINDÚ

Las excavaciones arqueológicas que se han realizado en Mahenjo Daro (valle indio que aguardó una gran población) muestran la existencia de una vieja civilización con un alto nivel cultural, contemporánea de los egipcios, pero de la cual no existe ningún documento matemático de aquella época. Un milenio más tarde, el país fue ocupado por los invasores arios, procedentes de las altiplanicies de Irán, quienes introdujeron el sistema social de castas y desarrollaron la literatura sánscrita. En el caso de la matemática hindú, nos encontramos con una falta de continuidad. Las importantes contribuciones matemáticas se han realizado en periodos separados por largos intervalos de tiempo. La primera época matemática se conoce como el periodo de los Sulvasutras o “regla de la cuerda”, que terminó hacia el siglo II d.C. Este nombre hacía alusión a la operación de extender o tensar las cuerdas para efectuar mediciones y guardar los datos obtenidos según unas reglas marcadas. Estos conocimientos geométricos, algo primitivos, sirvieron para la planificación de templos y construcciones de altares. La segunda época de la matemática hindú, conocida también como el “periodo alto”, abarca desde el año 200 d.C. al año 1200 d.C. Este periodo es el más importante, especialmente en lo referente al álgebra hindú, ya que ésta alcanzó su plenitud gracias a cuatro destacados matemáticos : Aryabhata (nacido el 476), Brahmagupta (nacido el 598), Mahavira (sigloIX) y Bhaskara (1114-1185). Muchos de sus trabajos, y en general los de los matemáticos indios, estaban motivados por la astronomía y la astrología, de hecho la mayor parte del material matemático aparece en capítulos de libros de astronomía. La primera obra que se conoce de este periodo fue la del matemático Arybhata: Aryabhatiya, libro bastante análogo a los Elementos de Euclides.Ambas obras son recopilaciones de desarrollos anteriores compiladas por un único autor. Pero a diferencia de los Elementos, Aryabhatiya está compuesta por 123 estrofas métricas y no tiene ninguna relación con la metodología deductiva. Uno de los grandes progresos de la matemática hindú en la rama delálgebra fue el uso de abreviaturas de palabras y algunos símbolos para describir las operaciones. Como en el caso de Diofanto, no había ningún símbolo para la adición, una tilde sobre el sustraendo indicaba sustracción, otras operaciones se designaban con palabras clave o abreviaturas. Por ejemplo ka, de la palabra “karama” indicaba raíz cuadrada. Para las incógnitas utilizaban palabras que denotaban colores. Este simbolismo aunque no era exhaustivo, es suficiente para que se pueda clasificar el álgebra hindú como cuasisimbólica, y en realidad lo era más que el álgebra sincopada de Diofanto. Los problemas y sus soluciones correspondientes se escribían en este estilo cuasisimbólico, y sólo se daban los pasos y no iban acompañados de justificaciones ni demostraciones.

LA CULTURA ÁRABE

La península arábiga estaba habitada en el siglo VI por nómadas del desierto, los beduinos, que no sabían leer ni escribir. En esta época apareció el profeta Mahoma, quien en medio siglo consiguió formar un estado “mahometano” con centro en La Meca. En el año 622 muere Mahoma, pero esto no entorpece la expansión de la cultura islámica. En unos veinte años conquistan Damasco, Jerusalén y Alejandría; el valle mesopotámico está bajo su mandato.Y en el siglo VIII ocupan España y Marruecos. Esto, crea una pequeña fisura entre los árabes de Oriente y los de Occidente, por lo que nos damos cuenta que su unidad era más económica y religiosa que política. Su despertar intelectual fue gracias al califa Al-Mamun quien ordenó traducir todas las obras griegas existentes al árabe y fundó la Casa de la Sabiduría en Bagdad, donde los miembros de esta especie de universidad estudiaban las obras antiguas e investigaban en el terreno científico. Al álgebra contribuyeron antes que nada con el nombre. La palabra álgebra viene de un libro escrito en año 830 por el astrónomo Mohamed ibn Musa al-Khowârizmî, titulado Al-jabr w´al muqâbala, que significa restauración y simplificación. Como ya hemos dicho, a veces se le llama a Diofanto el padre de álgebra, pero según muchos este título se le aplicaría mejor a Al-Khowârizmî. Aunque sea verdad que al menos en dos aspectos la obra de Al-Khowârizmî representa un retroceso respecto a la de Diofanto : es de un nivel mucho más elemental y el álgebra de Al-Khowârizmî es completamente retórica, sin ninguna de las sincopaciones que se encuentran en la Aritmética de Diofanto o en la obra del matemático hindú Brahmagupta. Aunque es probable que Al-Khowârizmî hubiese estado familiarizado con las obras de estos dos matemáticos. No obstante Al-jabr w´al muqâbala está más próxima al álgebra elemental moderna que a las obras de Diofanto o de Brahmagupta, ya que el libro no trata de difíciles problemas de análisis indeterminado, sino de la exposición directa y elemental de la resolución de ecuaciones, en especial de las de segundo grado. Esto se debe a que en general, a los árabes les gustaba poder seguir una argumentación lógica, correcta y clara de las premisas a la conclusión, así como una organización sistemática.

EUROPA MEDIEVAL

Tras la caída del imperio romano en el año 476, Europa comienza una nueva etapa, conocida como Edad Media que finalizaría a principios del siglo XIV.El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros de enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se habían dedicado a estudiar las obras de carácter matemático de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseñanza fue organizado en Reims, ciudad francesa, por Gerberto (Silvestre II) a finales del siglo X. Gerberto, fue posiblemente el primero de Europa que enseñó el uso de los numerales indo-arábigos. Sin embargo, hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusiera en marcha la maquinaria matemática. Tras estas traducciones en árabe, entra en escena el importante papel que desempeñaron los traductores españoles, ya que éstos a su vez tradujeron las obras del árabe al latín, permitiendo su difusión por Europa.Uno de los traductores más importantes fue Gerardo de Carmona (1114-1187), quien tradujo del árabe los Elementos de Euclides, el Almagesto de Ptolomeo y el Álgebra de Al-Khowarizmi. Los principales centros en los que se desarrolló este punto de arranque matemático en Europa fueron las universidades de Oxford, París, Viena y Erfurt (estas dos últimas fundadas en los años 1365y 1392 respectivamente). Cabe destacar a tres matemáticos del siglo XII y XIII procedentes de sectores sociales muy distintos, que contribuyeron a popularizar el “algorismo”: -Alexandre de Villedieu fue un franciscano francés que escribió Carmen de algoritmo, una obra lírica en la que se describen con detalle las operaciones fundamentales con los enteros utilizando los numerales hindú-arábigos y considerando al cero como un número.-John de Halifax (1200-1265) conocido también como Sacrobosco, fue un maestro inglés que contribuyó con su obra Algorismus vulgaris, manual práctico de cálculo que rivalizó en popularidad con su otra famosa obra: Sphaera, un tratado sobre astronomía que se usó en las escuelas a lo largo de la Edad Media tardía.-Y el tercero y más importante fue Leonardo de Pisa (1170 - 250), más conocido como Fibonacci o “hijo de Bonaccio”. Fue educado en África y viajó extensamente por Europa y Asia Menor, gracias a lo que pudo aprender el sistema de numeración indo-arábigo. En 1202, Fibonacci escribió su Liber Abaci (el libro del ábaco), un tratado muy completo sobre métodos y problemas algebraicos en el que se recomienda con gran insistencia el uso de los numerales hindú-arábigos.El Liber Abaci no es un libro cuya lectura resu lte precisamente gratificante al lector moderno porque explica los procesos algorítmicos o aritmético usuales, incluida la extracción de raíces en problemas de transacciones comerciales, utilizando para ello un complicado sistema de fracciones al calcular los cambios de moneda .No deja de ser una de ser una de las ironías más notables de la historia que la principal ventaja del sistema de notación posicional, es decir, su aplicación a las fracciones, pasase casi desapercibido a los que utilizaron los numerales indo-arábigos durante los primeros mil años de su existencia.Tanto en el Liber Abaci como en su trabajo posterior: Liber Quadratorum (1225), Leonardo se ocupó del álgebra. Siguió a los árabes en usar palabras en lugar de símbolos y basar el álgebra en métodos aritméticos. Expuso la solución de ecuaciones determinadas e indeterminadas de primer y segundo grado, así como de algunas ecuaciones cúbicas. Al igual que Khayyam (matemático árabe), creía que las ecuaciones cúbicas no podían ser resueltas algebraicamente.La característica nueva más significativa del trabajo de Leonardo es la observación de que la clasificación de Euclides de los irracionales en el libro X de los Elementos no incluía todos los irracionales. Fibonacci mostró que las raíces de la ecuación x$ +2x" +10x =20 no pueden construirse con regla y compás. Esta fue la primera indicación de que el sistema de números contenía más de los que permitía el criterio griego de existencia basado en la construcción mencionada.Pero a pesar de todo, Fibonacci quedaría inmortalizado por la famosa sucesión que lleva su nombre y su no menos conocido “problema de los conejos”.

RENACIMIENTO

Durante los siglos XV y XVI hubo un vasto movimiento de revitalización de la cultura en Europa Occidental. El nombre de Renacimiento es debido a que se retomaron los elementos de la cultura clásica tanto en el ámbito del arte como en el estudio de los científicos antiguos. El invento de la imprenta ayudó notablemente a que este movimiento cultural pudiese expandirse de una manera rápida por toda Europa. Los matemáticos del Renacimiento prepararon el terreno para el resurgir del estudio matemático en Europa mediante las traducciones de los trabajos griegos y árabes y los trabajos enciclopédicos de compilación del conocimiento existente. Pero las motivaciones y direcciones de las creaciones matemáticas surgieron principalmente de los problemas tecnológicos y científicos. Pero hubo algunas excepciones, como es el caso del crecimiento del álgebra.Ya en el siglo XV Regiomontano fue el matemático que más enriqueció el álgebra, su rama de las matemáticas favorita, aunque su influencia se vio limitada por su adhesión a la forma de expresión retórica y por su temprana muerte. Después de su fallecimiento, sus manuscritos fueron a parar a las manos de otro matemático, Nuremberg, quien no logró hacer accesible la obra de Regiomontano en los años posteriores. Así, Europa continuó aprendiendo su álgebra de forma lenta dado a la escasez de traducciones que discurrían por las universidades y el poco interés que mostraban muchos humanistas por las ciencias. Hasta la aparición del Ars Magna de Cardano en 1545, no hubo en elRenacimiento desarrollos trascendentes en álgebra. Sin embargo, merecen ser mencionadas algunas obras que contribuyeron a que esta rama de las matemáticas no quedase en el olvido. El trabajo de un fraile italiano llamado Luca Pacioli(1445-1514), su principal publicación es la Summa , una recopilación de material de cuatro campos distintos: aritmética, álgebra, geometría euclídea y contabilidad de doble entrada. Fue escrita en lengua vernácula y la parte dedicada al álgebra incluye las soluciones de las ecuaciones lineales y algunas soluciones de las cuadráticas. Su álgebra es retórica; sigue a Leonardo y a los árabes al llamar a la incógnita la “cosa” y, al cuadrado de la incógnita “census”, que a veces abrevia como “ce” o “Z”; el cubo de la incógnita ,“cuba”, se presenta a veces como “cu” o “C. Al escribir ecuaciones, cuyos coeficientes son siempre numéricos, coloca los términos en el lado que permite la utilización de coeficientes positivos y sólo da las raíces positivas. La parte del libro dedicada al álgebra termina con la observación de que la solución de las ecuaciones x! +mx =n y x! +n =mx son tan imposibles como la cuadratura del círculo. Gracias al amplio conocimiento disponible en el libro, fue más usada de lo que le correspondería por su originalidad. A parte de la innegable influencia de Italia durante el despegue cultural del siglo XV y XVI, en otros lugares Europeos no se quedaron rezagados. En Alemania los libros de álgebra publicados llegaron a ser tan numerosos que durante algún tiempo se impuso en casi toda Europa el uso de la palabra alemana “coss” para designar a la incógnita y el álgebra misma vino a llamarse “el arte cósico” o “arte de la cosa”. Entre la numerosas álgebras germánicas cabe destacar la Die Coss , escrita en 1524 por el famoso matemático alemán Adam Riese (1492-1559). Este autor fue el más influyente de los matemáticos alemanes por su tendencia de reemplazar los viejos métodos de cálculo basados en el uso de cuentas o fichas, o bien de los numerales romanos, por los nuevos métodos utilizando pluma y los numerales hindú-árabes. Sus numerosos textos de aritmética resultaron ser tan efectivos que aún se usa en Alemania la frase “Nach Adam Riese” como un elogio a la exactitud en los cálculos aritméticos. Riese menciona también en su Die Coss el Álgebra de Al-Khowârizmî y cita además a un cierto número de predecesores alemanes en este campo. Entre ellos se encuentran la Coss (1525) de Christoph Rudolff, el Rechnung (1527) de Peter Apian y la Aritmética integra (1544)de Michael Stifel. La primera obra es importante por ser uno de los primeros libros impresos que hace uso de las fracciones decimales, así como del símbolo moderno para las raíces; la segunda es notable por el hecho de que en ella en una aritmética comercial a fin de cuentas, aparece impreso en la portada el llamado “triángulo de Pascal”, casi un siglo antes del nacimiento de Pascal. Y la tercera de las obras que se ha mencionado, Aritmética integra, fue la más importante de las tres, trata los números negativos, la raíces y las potencias. Mediante el uso de los coeficientes negativos en las ecuaciones, Stiffel pudo reducir la multiplicidad de casos de ecuaciones cuadráticas a una forma única, pero como contrapartida tenía que explicar por medio de una regla especial cuándo usar el signo + y el signo - . Para las sucesivas potencias de la cantidad incógnita en álgebra, propuso utilizar una letra única para representar la incógnita, y repetir dicha letra para las potencias más elevadas de la incógnita tantas veces como indique la potencia en cuestión. Stiffel daba en su obra muchos ejemplos que conducían a ecuaciones cuadráticas , pero ninguno de sus problemas conducía a una ecuación cúbica, por la sencilla razón de que no había nada más sobre la resolución algebraica de las cúbicas que lo que sabían Pacioli o Khayyam.Sin embargo en al año 1545 se divulgó la solución no sólo de la ecuación cúbica, sino también de la cuártica, gracias a la publicación del Ars Magna de Jerónimo Cardano (1501-1576).Un avance tan sorprendente e inesperado como éste produjo un impacto tan importante en el mundo de los algebristas, que el año1545 se suele consideras a menudo como el que marca el comienzo del periodo moderno en la matemática. No obstante, Cardano afirma en su libro que no fue el descubridor original de la solución de la ecuación cúbica ni de la cuártica. La sugerencia para resolver la cúbica la obtuvo de Niccolo Tartaglia (1500-1557), que a su vez obtuvo la idea de Scipione del Ferro (1465-1526) un profesor de matemáticas que nunca llegó a publicar la solución, sino que se la reveló antes de su muerte a uno de sus alumnos, Antonio María Fior, un matemático mediocre. Mientras, la solución de la cuártica fue descubierta por primera vez por el antiguo secretario de Cardano, Ludovico Ferrari (1522-1565).Sea como fuere, estos desarrollos abrieron las puertas a muchos otros hallazgos matemáticos en los siglos posteriores. En el Ars Magna aparece además el genial descubrimiento de que un polinomio es divisible por los factores del tipo (x-a) donde a es raíz del polinomio, aunque no se da ninguna demostración.Una de las consecuencias más importantes tras la publicación del Ars magna fue que la solución de la ecuación cúbica condujo a las primeras consideraciones significativas acerca de un nuevo tipo de número.Tuvieron que aceptar la existencia de los número irracionales y de los números negativos, pero estos últimos presentaban más dificultades ya que no se les podía aproximar por números positivos a diferencia de los irracionales que podían ser aproximados fácilmente por números racionales. Cardano se encontraba a menudo con el problema de que la fórmula para resolver ecuaciones cúbicas le conducía a raíces cuadradas de números negativos. Ante este problema, otro importante algebrista italiano Rafael Bombelli (1526-1573) tuvo una genial idea, como los dos radicandos bajo las raíces cúbicas que aparecen en la fórmula final solo difieren en un signo, Bombelli imaginó que los radicales mismos podían estar relacionados entre sí de la misma manera que lo están los radicandos; es decir, lo que ahora nosotros denominaríamos como complejos conjugados. Pero Bombelli se encuentró con que necesitaba conocer de antemano una de las raíces de la ecuación, y sin tal conocimiento previo su planteamiento fallaba. Bombelli plasmó todas sus ideas en su obra póstuma Álgebra. Uno de los avances más significativos en el álgebra durante el siglo XVI fue la introducción de un mejor simbolismo, lo que hizo posible hacer una ciencia del álgebra. Los símbolos + y - fueron introducidos por los alemanes en el siglo XV para denotar excesos y defectos en los pesos de cofres y arcas; el símbolo & para la multiplicación lo introdujo William Oughtret y el símbolo = fue obra de Robert Recorde, matemático en Cambridge, donde escribió un tratado sobre el álgebra, The Whet-stone of Witte; en él decía que no conocía dos cosas más iguales que dos líneas paralelas y por tanto este tipo de líneas debían denotar la igualdad. Pero sin duda el cambio más significativo en el carácter del álgebra relacionado con el simbolismo fue introducido por François Viète (1540-1603) un abogado francés cuyo interés por las matemáticas era puro entretenimiento y describe su In Artem Analyticam Isagoge como la obra del análisis matemático restaurado. Viète traza la línea divisoria entre la aritmética y el álgebra y propone utilizar una vocal para representar una cantidad que se supone en álgebra desconocida o indeterminada, y una constante para representar una magnitud o un número que se supone conocido o dado. Esta distinción entre el concepto de parámetro y la idea de incógnita fue un paso previo a la matemática moderna.

SIGLO DE LAS LUCES

El siglo XVIII fue el siglo de las “revoluciones”. En 1789 estalla en Francia la conocida como Revolución Francesa, y en otras zonas de Europa, especialmente en Inglaterra, la llamada Revolución Industrial que cambió profundamente la estructura social del mundo occidental. A pesar de la inestabilidad política en Francia, los matemáticos franceses seguían siendo el centro de atención de la Europa matemática, y fueron los responsables de las principales líneas de investigación y desarrollo matemático. Las gran cantidad de publicaciones anteriores a la Revolución Francesa, contribuirían un siglo después a la aparición del álgebra abstracta.En 1707 aparece De Análysis de Isaac Newton (1642-1727); la esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación de una ecuación algebraica, cuya raíz será la solución del problema. En el libro, Newton enuncia un teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como una regla con la que es posible dar una cota superior de las raíces positivas. De Análysis termina con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas mediante la construcción geométrica de las raíces. En 1646 nace, en Leipzig, Gottfried Leibniz (1646-1716), su contribución más importante a la matemática, a parte de en el cálculo, lo fue en el campo de la lógica. Lo que más le impresionaba del cálculo era el carácter de universalidad que presentaba, y esta misma idea fundamental, la aplicó a sus restantes trabajos. Leibniz pretendía reducir todas las cosas a un orden, y para reducir todas las discusiones lógicas a una forma sistemática quería desarrollar una “característica universal” que sirviera como una especie de álgebra de la lógica. Además pensaba que se podían hacer descubrimientos nuevos mediante operaciones correctas, pero más o menos rutinarias con los símbolos, de acuerdo con las leyes del cálculo lógico. Su sugerencia revivió en el siglo XIX y jugó un papel muy importante en la matemática de este siglo.

SIGLO XIX

El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior, la Edad de Oro de la Matemática. Los progresos realizados en el ámbito matemático durante este siglo superan tanto en cantidad como en calidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. En 1874 el dominio del análisis se ve conmocionado por la matemática del infinito que acababa de introducir Cantor (1845-1918), un matemático alemán que había nacido en Rusia. Francia ya no era el centro reconocido del mundo matemático aunque produjera la meteórica carrera de un jovencísimo Évariste Galois (1811-1832), tuvo que compartir este liderazgo con otros países como Alemania, país que crea al matemático más importante de este siglo o para muchos de la historia, Carl Friedrich Gauss(1777-1855). El carácter internacional de la matemática también queda de manifiesto en el hecho de que las dos contribuciones más revolucionarias al álgebra, en1843 y 1847 las hicieron dos matemáticos que enseñaban en Irlanda. La primera de ellas fue obra de Sir William Hamilton (1805-1865) y la segunda de George Boole (1815-1864). No obstante,los algebristas más prolíficos del siglo XIX fueron dos ingleses que vivieron parte de su vida en Estados Unidos; se trata de Arthur Cayley(1821-1895) y J.J.Sylvester (1814-1897) y fue principalmente de su alma mater , Cambirge, de donde surgió el desarrollo del álgebra moderna.En 1799, Gauss publica su tesis en la Universidad de Helmstädt que lleva el título de Nueva Demostración del Teorema Que Toda Función Algebraica Racional y Entera de Una Variable Puede Resolverse en Factores Reales de Primero o de Segundo Grado. Este teorema, al que más tarde se referirá Gauss como el “teorema fundamental del álgebra”,era conocido en su tiempo como “el teorema de D’Alembert”; pero Gauss demostró que todos los intentos de demostración anteriores, incluyendo los de Euler y Lagrange, eran incorrectos. La tesis doctoral de Gauss demostraba que toda ecuación polinómica f(x) =0 tiene al menos una raíz, ya sean los coeficientes reales o complejos. Esta primera demostración se basa en su mayor parte en consideraciones geométricas, lo cual no resultaba del todo satisfactorio para nuestro genio. Por ello Gauss publica dos nuevas demostraciones en 1816 y 1850, intentando poder rescribir una demostración puramente algebraica. En su primera demostración, Gauss da una representación gráfica de los números complejos, la cual ya había sido publicada en1797 por Wessel pasando desapercibida para el mundo matemático.Gauss considera las partes real e imaginaria pura de un número complejo a+bi como las dos coordenadas rectangulares de un punto en el plano. El hecho de que se pudiera visualizar un número complejo como un punto del plano, hizo que el resto de matemáticos se sintiesen más cómodos con su uso.

SIGLO XX

El siglo XX se ha caracterizado por las dos Guerras Mundiales que asolaron el viejo continente, y por las dictaduras que emergieron en Europa. Pero estos dos hechos no hicieron entorpecer el avance matemático que venía empujando con fuerza desde siglo anterior. A comienzos del siglo XX era un hecho reconocido que la matemática era una forma de pensamiento axiomático, en la que uno deduce conclusiones válidas de sistemas de premisas arbitrarias. La cuestión de si los axiomas son o no verdaderos, en el sentido científico del término carecía de importancia; de hecho las palabras mismas con que se expresaban los axiomas son términos indefinidos. Pero dentro del ámbito matemático hubo dos tipos de pensamiento distintos; por un lados los que identificaban a la matemática con la lógica como es el caso de Russell y por otro lado los que se inclinaban hacia una concepción intuicionista de la matemática, como Sylvester . Un matemático decididamente intuicionista, fue Henri Poincaré(1854-1912), que marcó una gran transición entre los siglos XIX y XX. Poincaré no se detuvo en ningún campo el tiempo suficiente como para completar su obra. Pero hubo un antes y un después tras la publicación en 1895 de su Analysis Situ, en este libro se daba por primera vez un desarrollo sistemático de una nueva rama de las matemáticas: la Topología. En esta obra Poincaré seadelantó a lo que sería una de las direcciones de investigación más desarrolladas y fructíferas del siglo XX . Aunque hay que destacar que la topología no ha sido invención de un solo hombre, algunos problemas topológicos se encontraban ya en las obras de Euler, Möbius y Cantor. Actualmente la Topología se puede subdividir a grandes rasgos en dos ramas muy distintas: topología combinatoria o algebraica y la topología conjuntista.